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Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik II Aufgabe B1
Aufgabe B1.

Die Parabel p verläuft durch die Punkte P ( - 5 | - 19 ) und Q ( 7 | 5 ) . Sie hat eine Gleichung der Form y = - 0 , 25 x 2 + b x + c mit G = ℝ × ℝ und b , c ∈ ℝ . Die Gerade g ist festgelegt durch die Punkte R ( 0 | 2 , 5 ) und S ( 5 | 0 ) .

Aufgabe B1.1  (5 Punkte)

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c , dass die Parabel p die Gleichung y = - 0 , 25 x 2 + 2 , 5 x - 0 , 25 hat und bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g . Zeichnen Sie sodann die Parabel p für x ∈ [ 0 ; 12 ] und die Gerade g in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; - 1 ≦ x ≦ 14 ; - 7 ≦ y ≦ 7

Aufgabe B1.2  (2 Punkte)

Punkte A n ( x | - 0 , 5 x + 2 , 5 ) auf der Geraden g und Punkte D n ( x | - 0 , 25 x 2 + 2 , 5 x - 0 , 25 ) auf der Parabel p haben dieselbe Abszisse x und sind zusammen mit Punkten B n und C n die Eckpunkte von Trapezen A n B n C n D n .
Es gilt: [ A n B n ] ∥ [ C n D n ] ; ∡ B n A n D n = 90 ∘ ; x A n < x B n ; A n B n ¯ = 4 LE und C n D n ¯ = 2 LE.
Zeichnen Sie die Trapeze A 1 B 1 C 1 D 1 für x = 2 und A 2 B 2 C 2 D 2 für x = 9 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein

Aufgabe B1.3  (2 Punkte)

Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt A der Trapeze A n B n C n D n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A n gilt:
A ( x ) = ( - 0 , 75 x 2 + 9 x - 8 , 25 ) FE

Aufgabe B1.4  (2 Punkte)

Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von x es Trapeze A n B n C n D n gibt.

Aufgabe B1.5  (2 Punkte)

Unter den Trapezen A n B n C n D n besitzt das Trapez A 0 B 0 C 0 D 0 den maximalen Flächeninhalt.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Trapezes A 0 B 0 C 0 D 0 und den zugehörigen Wert für x .

Aufgabe B1.6  (4 Punkte)

Bestimmen Sie im Trapez A 2 B 2 C 2 D 2 aus Aufgabe 1.2 rechnerisch das Maß des Winkels ∡ C 2 B 2 A 2 . Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
Begründen Sie sodann, dass es kein Trapez A n B n C n D n gibt, für das gilt: ∡ C n B n A n = 75 ∘ .

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