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Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik I Aufgabe B1
Aufgabe B1.

Die Raute A B C D mit den Diagonalen [ A C ] und [ B D ] ist die Grundfläche eines geraden Prismas A B C D E F G H . Der Punkt E liegt senkrecht über dem Punkt A . Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen der Raute A B C D ist der Punkt T . Der Schnittpunkt der Diagonalen [ E G ] und [ F H ] der Raute E F G H ist der Punkt M .
Es gilt: A C ¯ = 10 cm; B D ¯ = 6 cm; A E ¯ = 7 cm.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe B1.1  (3 Punkte)

Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas A B C D E F G H , wobei die Strecke [ A C ] auf der Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt C liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: q = 1 2 ; ω = 45 ∘ .
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels C A M .
[Ergebnis: ∡ C A M = 54 , 46 ∘ ]

Aufgabe B1.2  (3 Punkte)

Punkte P n liegen auf der Strecke [ A M ] . Die Winkel P n C A haben das Maß φ mit φ ∈ ] 0 ∘ ; 54 , 46 ∘ ] . Die Punkte P n sind zusammen mit den Punkten B und D die Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken B D P n mit der gemeinsamen Basis [ B D ] .
Die Winkel B P n D haben das Maß ε .
Zeichnen Sie das Dreieck B D P 1 für φ = 30 ∘ in das Schrägbild zu 1.1 ein.
Für alle Dreiecke B D P n gilt: ε ∈ [ 46 , 40 ∘ ; 72 , 79 ∘ ] .
Begründen Sie die obere Intervallgrenze.

Aufgabe B1.3  (3 Punkte)

Das Dreieck B D P 2 ist gleichseitig.
Ermitteln Sie rechnerisch die Länge der Strecke [ A P 2 ] .
[Teilergebnis: T P 2 ¯ = 5 , 20 cm]

Aufgabe B1.4  (2 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken [ C P n ] in Abhängigkeit von φ gilt:
C P n ¯ ( φ ) = 8 , 14 sin ( 54 , 46 ∘ + φ ) cm.

Aufgabe B1.5  (3 Punkte)

Die Punkte P n sind die Spitzen von Pyramiden A B C D P n mit den Höhen [ P n K n ] , deren Fußpunkte K n auf der Strecke [ A T ] liegen.
Zeichnen Sie die Pyramide A B C D P 1 und ihre Höhe [ P 1 K 1 ] in das Schrägbild zu 1.1 ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch das Volumen V der Pyramiden A B C D P n in Abhängigkeit von φ .
[Ergebnis: V ( φ ) = 81 , 4 ⋅ sin φ sin ( 54 , 46 ∘ + φ ) cm³]

Aufgabe B1.6  (3 Punkte)

Das Volumen der Pyramide A B C D P 3 beträgt ein Viertel des Volumens des Prismas A B C D E F G H .
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß φ .

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