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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe A2


 
Aufgabe A2.2  (3 Punkte)
Zeigen Sie, dass für das Längenverhältnis der Strecken [ A B n ] und [ A C n ] gilt:
A B n ¯ = 1 3 A C n ¯ .
Bestätigen Sie sodann durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke A B n C n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte C n gilt:
A ( x ) = 1 4 3 ( 1 , 25 x 2 + 6 x + 36 ) FE
 
Lösung zu Aufgabe A2.2

Seite eines Dreiecks bestimmen
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Benötigte Angaben aus den vorherigen Aufgaben:

B n A C n = A C n B n = 30

C n ( x | 1 2 x + 6 )


Maß des Winkels C n B n A bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
C n B n A = 180 - ( 30 + 30 ) = 120



Länge der Seite [ A B n ] mit dem Sinussatz bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
A B n ¯ sin A C n B n = A C n ¯ sin C n B n A

A B n ¯ sin 30 = A C n ¯ sin 120 | sin 30

A B n ¯ = sin 30 sin 120 A C n ¯
Schritt einblenden / ausblenden
A B n ¯ = 1 2 3 2 A C n ¯

A B n ¯ = 1 3 A C n ¯
Länge eines Vektors
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Um den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen zu können, benötigt man die Länge der Seite [ A C n ] . Sie entspricht der Länge des Vektors A C n .
Schritt einblenden / ausblenden
A C n = ( x 1 2 x + 6 )
Schritt einblenden / ausblenden
A C n ¯ = x 2 + ( 1 2 x + 6 ) 2
Schritt einblenden / ausblenden
A C n ¯ = x 2 + 1 4 x 2 + 6 x + 36

A C n ¯ = 1 , 25 x 2 + 6 x + 36
Flächeninhalt eines Dreiecks
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Flächeninhalt A des Dreiecks A B n C n bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
A = 1 2 A B n ¯ A C n ¯ sin B n A C n
Schritt einblenden / ausblenden
A = 1 2 1 3 A C n ¯ A C n ¯ sin 30

A = 1 2 1 3 A C n ¯ A C n ¯ 1 2

A = 1 4 3 A C n ¯ 2
A = 1 4 3 ( 1 , 25 x 2 + 6 x + 36 ) 2

A = 1 4 3 ( 1 , 25 x 2 + 6 x + 36 )

Alternative Lösung
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Die Länge der Seite [ A C ] kann auch mit dem Satz des Pythagoras bestimmen werden:
Schritt einblenden / ausblenden
A C n ¯ 2 = x 2 + ( 1 2 x + 6 ) 2

A C n ¯ 2 = x 2 + 1 4 x 2 + 6 x + 36

A C n ¯ 2 = 1 , 25 x 2 + 6 x + 36