Aufgabe A2.2
(3 Punkte)
Zeigen Sie, dass für das Längenverhältnis der Strecken und gilt:
.
Bestätigen Sie sodann durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt der Dreiecke in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt:
FE
Seite eines Dreiecks bestimmen
| Benötigte Angaben aus den vorherigen Aufgaben: |
Maß des Winkels
bestimmen:
Winkelsumme im Dreieck
Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich
.
Im Dreieck
gilt also:
Länge der Seite mit dem Sinussatz bestimmen:
Sinussatz
| In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt: |
Im Dreieck
gilt somit:
Sinus eines Winkels
Die Sinuswerte können in der Formelsammlung nachgeschlagen werden. Für den Winkel
muss der Wert bei
abgelesen werden, da die zwei Winkel, die im ersten Quadranten liegen, denselben Sinuswert haben.
Länge eines Vektors
Um den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen zu können, benötigt man die Länge der Seite . Sie entspricht der Länge des Vektors .
Erläuterung
Der Vektor
, der die Punkte
und
verbindet, hat die Koordinaten:
Betrag eines Vektors
Die Länge
eines Vektors
ist gegeben durch:
Binomische Formel
Erste binomische Formel:
Die erste binomische Formel wird auf
angewendet:
Flächeninhalt eines Dreiecks
Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen:
Flächeninhalt eines Dreiecks
| Sind in einem beliebigem Dreieck zwei Seiten und und der Winkel , der von beiden Seiten eingeschlossen wird, bekannt, so gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks: |
Erläuterung
wird durch
ersetzt (siehe Zwischenergebnis dieser Aufgabe).
Alternative Lösung
Die Länge der Seite kann auch mit dem Satz des Pythagoras bestimmen werden:
Erläuterung
| Die Abszisse und die Ordinate des Punktes bilden zusammen mit dem Punkt ein rechtwinkliges Dreieck. Nach dem Satz des Pythagoras gilt somit: |